Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|x-1|+2|x-a|，a∈R．（Ⅰ）当...

选修4-5：不等式选讲 设函数f（x）=|x-1|+2|x-a|，a∈R． （Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥5的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥5对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=-1时，f（x）≥5⇔f（x）=2|x+1|+|x-1|≥5，
①当x＜-1时，不等式可化为：x＜-1-2(x+1)-(x-1)≥5，
解得：x≤-2；
②当-1≤x≤1时，不等式化为：-1≤x≤12(x+1)-(x-1)≥5，解得：x∈∅；
③当x＞1时，不等式化为：x＞12(x+1)+(x-1)≥5，解得：x≥43，
∴当a=-1时，不等式f（x）≥5的解集为：（-∞，-2]∪[43，+∞）；
（2）不等式f（x）≥5∀x∈R对恒成立，即∀x∈R，f（x）min≥5．
当a＞1时，f（x）=-3x+1+2a，x＜1-x-1+2a，1≤x≤a3x-1-2a，x＞a，
∴f（x）min=a-1≥5，即a≥6；
当a=1时，f（x）=-3x+3，x＜13x-3，x≥1，
∴f（x）min=0，不符合；
当a＜1时，f（x）=-3x+1+2a，x＜ax+1-2a，a≤x≤13x-1-2a，x＞1，
∴f（x）min=-a+1≥5，即a≤-4，
综上所述，a≤-4或a≥6．