已知a b c为等差数列,且公差d≠0,求证1/a,1/b,1/c不可能是等差数列
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反证法:
假设1/a,1/b,1/c成等差数列,则1/a+1/c=2/b.
2b=a+c;
(a+c)/ac=2/b;
b=(a+c)/2;
(a+c)/ac=4/(a+c);
(a+c)(a+c)=4ac;
c=a+2d;
(2a+2d)(2a+2d)=4a(a+2d);
4a*a+4d*d+8ad=4a*a+8ad;
从而d=0;
这与公差d不等于0相矛盾.
故,1/a,1/b,1/c不可能是等差数列.
假设1/a,1/b,1/c成等差数列,则1/a+1/c=2/b.
2b=a+c;
(a+c)/ac=2/b;
b=(a+c)/2;
(a+c)/ac=4/(a+c);
(a+c)(a+c)=4ac;
c=a+2d;
(2a+2d)(2a+2d)=4a(a+2d);
4a*a+4d*d+8ad=4a*a+8ad;
从而d=0;
这与公差d不等于0相矛盾.
故,1/a,1/b,1/c不可能是等差数列.
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