Question

已知函数.当时,求在最小值;()若存在单调递减区间,求的取值范围;()求证:.

已知函数. 当时,求在最小值; ()若存在单调递减区间,求的取值范围; ()求证:.

Answer 1

可先求,从而判断在上的单调性,利用其单调性求在最小值;
()求,可得,若存在单调递减区间,需有正数解.从而转化为:有的解.通过对分
,与当三种情况讨论解得的取值范围;
()(法一)根据()的结论,当时,,再构造函数,令,有,从而,问题可解决;
(法二)可用数学归纳法予以证明.当时,,,成立;设当时,,再去证明时,即可(需用好归纳假设).
解:,定义域为.
,
在上是增函数.
当时,;(分)
(),
若存在单调递减区间,
有正数解.即有的解.(分)
当时,明显成立.
当时,为开口向下的抛物线,总有的解;
当时,开口向上的抛物线,
即方程有正根.
因为,
所以方程有两正根.
,解得.
综合知:.
(分)
()
(法一)根据()的结论,当时,,即.
令,则有,
.
,
.
(分)
(法二)当时,.
,,即时命题成立.
设当时,命题成立,即.
时,.
根据()的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立.
(分)
本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法,难点之一在于()中通过求后,转化为:有的解的问题,再用分类讨论思想来解决;难点之二在于()中法一通过构造函数,用放缩法证得结论,法二通过数学归纳法,其中也有构造函数的思想,属于难题.