从一块半径为R的圆形铁片中剪去一个扇形,剩余部分围成一个锥形,问扇形圆心角多大时,锥形体积最大?
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圆锥体积=πr²h/3(h为圆锥底面上的高,r为底面半径),R为平面圆的半径.
设扇形圆心角为x度.
则：剩余弧长=2πRx/360(也就是圆锥的底面周长)
所以圆锥底面半径 r=(2πRx/360)/(2π)=Rx/360
圆锥底面上的高 h=√(R²-r²)=√[R²-(Rx/360)²]
=R√(360²-x²)/360
所以 圆锥体积V=πr²h/3
=π(Rx/360)²·R√(360²-x²)/360
化简得：V=π(R/360)³x²√(360²-x²)
这个关于x的函数开口向上,
只有最小值0,没有最大值.
设扇形圆心角为x度.
则：剩余弧长=2πRx/360(也就是圆锥的底面周长)
所以圆锥底面半径 r=(2πRx/360)/(2π)=Rx/360
圆锥底面上的高 h=√(R²-r²)=√[R²-(Rx/360)²]
=R√(360²-x²)/360
所以 圆锥体积V=πr²h/3
=π(Rx/360)²·R√(360²-x²)/360
化简得：V=π(R/360)³x²√(360²-x²)
这个关于x的函数开口向上,
只有最小值0,没有最大值.
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