线性代数之证明题2设A为可逆矩阵,证：A的伴随矩阵A*可逆,且A*的逆=A逆的*
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因为
A可逆,
所以
|A|
!=
0
由
AA*
=
|A|E,
两边取行列式,
得
|A||A*|
=
|A|^n
由
|A|
!=
0,
得
|A*|
=
|A|^(n-1)
!=
0.
所以
A*
可逆.
再由
AA*
=
|A|E,
知
A*
=
|A|
A逆
所以
(A逆)*
=
|A逆|
(A逆)逆
=
A
/
|A|
(A*)逆
=
(
|A|
A逆)逆
=
A
/
|A|
所以
(A*)逆=(A逆)*
A可逆,
所以
|A|
!=
0
由
AA*
=
|A|E,
两边取行列式,
得
|A||A*|
=
|A|^n
由
|A|
!=
0,
得
|A*|
=
|A|^(n-1)
!=
0.
所以
A*
可逆.
再由
AA*
=
|A|E,
知
A*
=
|A|
A逆
所以
(A逆)*
=
|A逆|
(A逆)逆
=
A
/
|A|
(A*)逆
=
(
|A|
A逆)逆
=
A
/
|A|
所以
(A*)逆=(A逆)*
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