Question

高三数学 不等式证明

若非负数a b c满足a+b+c=1,求证:a/(1+a^2) +b/(1+b^2) c/(1+c^2)≤9/10

Answer 1

如果a,b,c中某一个数等于0，那么可以先将所证式化简，做法与a,b,c都不为0时类似，我直接写一个证明a,b,c都不为0的做法。
先证明一个基本不等式：对任意正实数x,y,z,有不等式
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9
成立。
证明：(如果你知道Caychy不等式，那么这就是Cauchy不等式的直接推论)
将两个括号中的式子全部乘开，即
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y).
后面三个括号中都用均值不等式即，x+y+y/x>=2,
x/z+z/x>=2,
y/z+z/y>=2，
于是可知
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=3+2+2+2=9,
因此上面的基本不等式成立。
回到原题。由均值不等式可知
1+a^2=8/9+(1/9+a^2)>=8/9+2/3a,
同理
1+b^2>=8/9+2/3b,
1+c^2>=8/9+2/3c,所以
a/(1+a^2)
+b/(1+b^2)
+c/(1+c^2)
<=a/(8/9+2/3a)+b/(8/9+2/3b)+c/(8/9+2/3c)
=3/2*[3a/(3a+4)+3b/(3b+4)+3c/(3c+4)]
(1)
由上面的基本不等式可知:
[1/(3a+4)+1/(3b+4)+1/(3c+4)]*[(3a+4)+(3b+4)+(3c+4)]>=9,
但是
a+b+c=1,
(3a+4)+(3b+4)+(3c+4)=15,
所以
1/(3a+4)+1/(3b+4)+1/(3c+4)>=9/15=3/5
(2)
由(2)知
4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)>=12/5,
用3减去不等式两边得到：
3-[4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)]<=3-12/5=3/5,
即
(1-4/(3a+4))+(1-4/(3b+4))+(1-4/(3c+4))<=3/5,
于是
3a/(3a+4)+3b/(3b+4)+3c/(3c+4)<=3/5
(3)
将(3)的结果代入(1)即知
a/(1+a^2)
+b/(1+b^2)
+c/(1+c^2)
(由(1))
<=3/2*[3a/(3a+4)+3b/(3b+4)+3c/(3c+4)]
(由(3))
<=(3/2)*（3/5)
=9/10
因此所证不等式成立。
注:问题的关键在于取等条件，注意所证式的等号成立当且仅当
a=b=c=1/3,
所以在证明时要用到
a^2+1=a^2+1/9+8/9>=2/3a+8/9.
这样取等条件才保持一致。
当a,b,c有一个为0时，比如c=0,此时所证式化为
a/(a^2+1)+b/(b^2+1)<=9/10,
此时满足的条件是
a+b=1.
那么用上面的方法就知道当且仅当a=b=1/2时
a/(a^2+1)+b/(b^2+1)取得最大值
4/5<=9/10.