已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,P...

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一点,且在x轴的上方,H是PF1上一点,若PF2•F1F2=0,O... 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一点,且在x轴的上方,H是PF1上一点,若PF2•F1F2=0,OH•PF1=0,|OH|=λ|OF1|,λ∈[13,12](其中O为坐标原点). (Ⅰ)求椭圆C离心率e的最大值; (Ⅱ)如果离心率e取(Ⅰ)中求得的最大值,已知b2=2,点M(-1,0),设Q是椭圆C上的一点,过Q、M两点的直线l交y轴于点N,若NQ=2QM,求直线l的方程. 展开
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俎健尹绮南
2020-03-30 · TA获得超过3927个赞
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解:(Ⅰ)由题意知PF2⊥F1F2,OH⊥PF1
则有△F1OH与△F1PF2相似,所以|OH||OF1|=|PF2||F1P|=λ…(2分)
设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,P(c,y1),则有c2a2+y12b2=1,解得y1=b2a,
所以|PF2|=y1=b2a根据椭圆的定义得:|F1P|=2a-|PF 2|=2a-b2a…(4分)
∴λ=b22a2-b2,即b2a2=2λ1+λ,所以e2=c2a2=1-b2a2=21+λ-1…(6分)
显然e2=21+λ-1在[13,12]上是单调减函数,当λ=13时,e2取最大值12.
所以椭圆C离心率e的最大值是22…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知e2=c2a2=1-b2a2=1-2a2=12,解得a2=4,
∴椭圆C的方程为x24+y22=1…(10分)
由题意知直线l的斜率存在,故设其斜率为k,则其方程为y=k(x+1),N(0,k)
设Q(x1,y1),由于NQ=2QM,所以有(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1)
∴x1=-23,y1=k3…(12分)
又Q是椭圆C上的一点,则(-23)24+(k3)22=1,解得k=±4,
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…(14分)
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