Question

一个关于数列的证明问题

比如一个等差数列，第三项减去第一项a3-a1=2d,第四项减去第二项a4-a2=2d,这个在所有等差数列里都成立么？如果成立，那么反过来，一个数列有a3-a1=2d，a4-a2=2d（这里的2d指的是一个常数，不是2倍公差）这样的形式，那么这个数列就一定是等差数列吗？

Answer 1

这个问题你要理解证明的内涵：一个数列收敛就是说在n充分大（大于N)之后，xn与a的差充分小，这就限制了在n充分大后xn的绝对值要小于一个常数，而这个常数是与n究竟取做多大有关的，n越大，与a的偏差就越小。而前有限项必然是可以有最大值的，这样将这个数列一分为二：前有限项有界，后无穷项也有界，那么这个数列就是有界的，这个就是取M=max{...}的意义。而事实上这里后无穷项的界可以是|a|+任意正数，只不过证明时为了方便取做1而已。哪里矛盾了呢？你说的小于一实际是上确界，就是上界中最小的。2当然是它的上界，注意这个证明是有界，不是找上确界。

追问

不好意思，你可能深化我的问题了，我的意思是。在知道这个数列是等差数列的情况下，a3-a1，a4-a2这样的形式一定等于公差的两倍么，如果成立。那在一个数列中a3-a1,a4-a2,a6-a4这种形式都等于一个固定的常数x的时候（这个时候我们不知道这个x是公差的两倍），这种能确定这个数列一定是等差数列么？

Answer 2

等差数列的通项公式是a_n=a_1+(n-1)d
所以a_(i+2)-a_i=a_1+(i+2-1)d-[a_1+(i-1)d]=2d是在所有情况都成立的.
然后反过来
a_(i+2)-a_i=2d并不能保证是等差数列
例如0,0,2d,2d,4d,4d…符合该要求, 但是显然不是等差数列

Answer 3

只是前面几个元素满足以上关系不一定是等差数列，要所有项都满足才算。

追问

意思也就是反证不行么，那如果是等差数列an-a(n-1)就一定等于2d么。