Question

高一数学关于映射的一道题。

映射f：{1，2，3}→{1，2，3}，满足f[f(x)]=f(x),这样的函数个数有多少？

我有个不懂的地方，由f[f(x)]=f(x),可以推出：f(x)=x，那么映射f就要满足f(x)=x，这样的映射只有如图一所示的情况。可是答案上还有其他情况，比如图2就是答案上的一个情况，可是如果按图2映射，1对应1符合f(x)=x，可是2对应3就不符合f(x)=x了，这应该不成立。所以就应该只有1对1,2对2,3对3的情况。不可能有其他情况。

我错哪里了？麻烦讲详细点，谢谢。

Answer 1

10个，
解：1、f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个。
2、f(1)=1;f(2)=f(3)=2或3，共2个。
f(2)=2;f(1)=f(3)=1或3，共2个。
f(3)=3;f(1)=f(2)=1或2，共2个。
3、f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3;1个
所以这样的函数共有10个。

参考:

显然元映射f(x)=x满足函数方程，是一个解。
常函数显然也是解，即f(x)=1，2或者3。3个解。
这四个是平凡解，下面求非平凡解。

设f(x)=y≠x,那么f(y)=f(f(x))=f(x)=y,
剩下z, 首先f(z)≠y，否则成常函数了。
其次，若f(z)=x,则f(x)=f(f(z))=f(z)=x,与f(x)=y≠x矛盾.
故必有f(z )=z
所以非平凡解有两个不动点，一个变动点.
动点有3选，并且动点可映射至两个不动点之一，故非平凡解共是2×3种。

所以满足函数方程的解函数f(x)共有1+3+6=10个。

Answer 2

解：1、f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个。
2、f(1)=1;f(2)=f(3)=2或3，共2个。
f(2)=2;f(1)=f(3)=1或3，共2个。
f(3)=3;f(1)=f(2)=1或2，共2个。
3、f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3;1个
所以这样的函数共有10个。

Answer 3

1、f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3，共3个。
2、f(1)=1;f(2)=f(3)=2或3，共2个。
f(2)=2;f(1)=f(3)=1或3，共2个。
f(3)=3;f(1)=f(2)=1或2，共2个。
3、f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3;1个
共有10个。