Question

高中数学单调性问题~求解！

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,又有f(1)=—2/3。
（1）求证f(x)为奇函数
（2）求证f(x)在R上是减函数
（3）求f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，则由f(0)+f(0)=f(0+0)所以f（0）=0
对于任意的x，令y=-x，则f(-x)+f(x)=f（-x+x）=f(0)=0
所以 f（-x）=f（x）
所以 f（x）为奇函数。
（2）证明：对于任意的x1，x2，且x1>x2,所以x1-x2>0
则 f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以 f(x1)<-f(-x2)=f（x2）
所以 f(x)在R上是减函数
（3）由（2）知f（x）在R上是减函数
所以f（x）在[-3,6]上的最大值为f（-3），最小值是f（6）
因为f(-1)=-f(1)=2/3
所以f(-3)=f(-1+(-2))=f(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1+(-1))=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)=2
f(6)=6f(1)=-4
所以f（x）在[-3,6]上的最大值是2，最小值是-4

Answer 2

1）
f(x)+f(y)=f(x+y),
f(0)+f(0)=f(0) --> f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0 --> f(x)=-f(-x) 奇函数；

2）
设：x1 > x2 x1-x2>0 ,由：当x＞0时，f(x)＜0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f（x1-x2）< 0
--> f(x1)< f(x2) --> f(x)在R上是减函数

3)
f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,6]上的最大值为：
f(-3)=-f(3)=-[f(1)+f(1)+f(1)]=2;
最小值为：
f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4;

Answer 3

1
令x为0，y为0，得到f(0)=0
令x为-x，得到f(x)+f(-x)=f(0)=0

2
取x<y
f(y)-f(x)=f(y-x)，因为且当x＞0时，f(x)＜0,所以f(y-x)<0，所以是递减的

3
奇函数，在正半轴递减，在负半轴也递减
所以最大为f(-3)=-f(3)=-(f(1)+f(1)+f(1))=2
最小为f(6)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=-4

其实如果有闲情逸致的话可以证明这个函数是 y= -2/3 x