Question

读书笔记(四)

Answer 1

一、读书内容

《义务教育数学课标解读》第138到148页，173-178页

二、今日主题

课程内容解读-数与代数

三、思考问题

1.内容主线和关键点

2.如何把握相关核心概念

3.整体把握内容之间的联系

四、读书笔记

第一节 数与代数的主线和关键点

数与代数部分包括：数的概念、数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式，函数等。

数与代数学习内容的主线是：从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程，和解方程、函数……在数的认识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；在数的运算中，从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运算，乘方和开方的运算等。

本质上从两个角度理解：第一，从数的扩充角度，从常量到变量；第二，从关系的角度，从数量关系的等量关系，到不等关系、变化关系。

一、数的形成与发展、数的运算

数系（含运算）的扩充有两条主要的途径：第一，元素添加。第二，等势抽象。为了实现成加法运算的对称化（可以实施减法运算），必须把自然数扩充为整数；为了实施乘法运算的对称化（可以实施除法运算），必须把整数扩充为有理数；为了实现乘方运算的对称化（可以实施开方运算）必须把有理数扩充为实数等等。

1、数的形成：从量到数的抽象（自然数）

自然数的形成包括两个方面，一是与生活密切相关的数字的形成，二是计数单位的建立。

（1）数字的形成

人的基因不仅能够携带信息，而且人的基因需要一个锻炼和培育的过程。-史宁中，教育与数学教育，长春：东北师范大学出版社，2006.90。

（2）计数单位的产生

2、数的表示：数位与记数法

（1）多位数的表示

（2）记数法的含义及刻画方式

一般情况下，一种记数法应该包含提取数量信息的法则（俗称：二进制，十进制等），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（俗称读法与写法）。

在我国，自然数的符号刻画方式有两种：一是位置原则记数法（罗马数字式加减法则），即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值，还有位置的值；二是科学记数法，将为支持与自身知识与捆绑的形式来刻画数量信息。

3、数的扩充（一）：分数和小数

小数的产生有两个动因：一是十进制计数法，扩展完善的需要，二是分数书写形式的优化改进。

小数与百分数在形式上不同于分数，但是他们都是从分数中分离出来的。

4、数的扩充（二）：有理数

有理数的扩充过程，一般经历了两个过程，自然数（0与正整数）集合中添加负数，形成整数集；在整数集中添加分数，形成有理数集。

5、数的运算：四则运算的含义与运算律

（1）四则运算的形式化含义

加法的定义，对于a，b属于自然数集，规定，a+b表示在a的后面增加b个序数。

乘法的定义，乘法是数自相加的缩写，一般地，对于a，b属于自然数集，则a*b表示a个b相加。

（2）运算定律

二、代数式及其运算

1、用字母表示数

字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，对形成代数式，整式分式和根式的一系列概念，学会各类运算的基础，应贯穿于学习数与代数的始终。

2、代数式

用加减乘除，乘方和开方等运算符号连接数和字母而成的式子，称为代数式。

第三学段学习代数式的程序，通常是整式，分式，二次根式；在这一过程中应牢牢把握住对字母实施什么运算这一实质，把概念与运算紧密联系，把代数式和相应的方程与不等式紧密联系，注意揭示知识之间的内在联系，体现知识网络的结构特征，丰富学习的内容，克服单纯关注运算的限制。

3、代数式的运算

代数式运算的本质是恒等变形，从式的一种形态，变为另一种形态的恒等变形，绝非一种字母的游戏，它是研究数学的有力杠杆之一，是第三学段数与代数的主要内容和教学重点。

因式分解中提公因式法和公式法是实施因式分解的基本方法，是通法；十字相乘法，固然也是完成因式分解的一种方法，但不是通法。

三、方程与不等式

1、简易方程

2、方程与不等式的意义，布列方程与不等式

结合实际问题，建立方程与不等式的数学模型，分析和解决问题，始终是学习和研究方程与不等式的核心，既是出发点，也是落脚点。

3、方程（组）与不等式（组）的解和解集，解方程（组）与不等式（组）

正确理解方程的解与不等式的解集的概念，并学会解各类方程（组）与不等式（组），是学习方程与不等式的主要内容，也是基本运算技能的重要组成部分。

每一类方程（组）与不等式（组）的解法，都充分体现出转化与化归数学思想，特别是解二元一次方程组的“消元”，解一元二次方程的”降次”都是转化与化归的典型，不等式的解集的概念，所体现的集合与对应的思想，数形结合的思想也具有典型的意义，应当引导学生充分思考和体验，以利于总体目标中所提出的，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验的落实。

四、函数

函数的内容包括：常量和变量；函数的概念和三种表示法；正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质。

函数的本质特征：联系和变化。

1、正比例和反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定这两种量就叫做成正比例的量，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。

2、函数的意义

从实际中抽象出函数的有关概念，又运用函数解决实际问题，这是学习函数的主要目标。

3、函数类型与性质

一次函数，二次函数属于整式函数，反比例函数属于分式函数，在义务教育阶段上午无理函数（根式函数）的内容。

函数的性质应包括，单调性（增减性），奇偶性，周期性以及最大（小）值，极大（小）值等。在义务教育阶段，利用随着x增大y也增大的方式，描述相关函数的单调性。利用函数图像具有对称性，暗含了函数的奇偶性。利用二次函数图像的顶点，体现出最值的性质。

第二节 具体内容分析

一、第一、第二学段的内容分析

数与代数的内容是第一第二学段的主要学习内容，第一学段的学生思维形式，以具体形象为主。第一学段的数与代数内容比较注重字的现实意义，强调紧密。

第三节  需要处理好的几个问题

一、把握好核心概念

1、在数的认识、估算等内容中体现数感

认识大数时，对数的感知和估计需要一定的数感。估算时数量单位的正确选择，在一定程度上反映了学生的数感。预算过程中，对运算结果正确性的判断，也是数感的具体体现。

2、用字母代替数字进行运算和推理-从算术到代数

从数字运算到字母运算，也是学生符号意识形成的过程。

3、运算及数域的扩充-从自然数到实数

为了能够通过有理数的运算法则，得到无理数的加、减、乘、除的法则，人们运用了逼近的思想，即用有理数来逼近无理数，由此可以得到无理数的运算法则，严格意义上讲就不可避免的要引入无理数的定义，还要建立极限的概念。逼近的思想是数学上一个重要的思想，在微积分的创立过程中，人们正是利用了逼近的思想。

4、方程（模型思想、推理证明）

5、变量与函数（模型思想）

二、整体把握内容之间的联系

数与代数的内容分为三个部分：数与式，方程与不等式，函数。知识之间的内在联系，既表现在每一个部分的前后之间，更存在于不同部分之间。

1、数与数系

数系扩充的过程中，除了需要审视数集与数的运算的封闭性，还需要关注相关的运算律，如交换律，结合律和分配律等。

2、数与式

处理好各类代数式的运算中，字母的运算与数的运算的关系，就是掌握式的运算的关键所在。

3、式与方程

解方程与不等式的过程，要用到去括号，移项，合并同类项等变形，实际上就是实施数与式的运算。

4、方程与不等式

通过类比和迁移，不仅有助于学好不等式（组），而且有助于对数学思想方法的领会和运用，养成良好的学习习惯，提高数学能力的水平。

5、方程、不等式与函数

“能根据一次函数的图像，求二元一次方程组的近似解”，只是一个操作层面的要求，而“体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系”，则是提升到思维层面的要求，提出这样的要求，充分体现了“能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的目标要求。