Question

求微分方程xy'-y=1+x³的通解

Answer 1

解法1：
xy'-y=1+x^3
两边对x求导：
y'+xy''-y'=3x^2
xy''=3x^2
y''=3x
∫y''dx=∫3xdx+c
y'=(3/2)x^2+c
∫y'dx=(3/2)∫x^2dx+∫cdx+d
y=(1/2)x^3+cx+d
c、d是任意常数
由于开始两边求导,因此可能会伤害到常数,况且y的1 次导数的微分方程,只有一个任意常数项,因此带入到原方程,可求得d=-1
通解y=(1/2)x^3+cx-1
解法2：
xy'- y=(x^2)(y/x)'=1+x^3
两边除以x^2:
(y/x)'=x+1/x^2
y/x=∫(x+1/x^2)dx+c
=(1/2)x^2-(1/x)+c
y=(1/2)x^3+cx-1