Question

数学题。求函数y=根号（x＋27）＋根号（13－x）＋根号x 要详细点的。

求最值。 我要的是详细正规的数学解答过程和思路。
比如用柯西或者导数。

Answer 1

那就用导数测试吧,最简单的方法:

已知函数y=√(x+27)+√(13-x)+√x

导数y'=1/(2√x)+1/[2√(x+27)]-1/[2√(13-x))]

令y'=0

1/(2√x)+1/[2√(x+27)]-1/[2√(13-x))]=0

解得唯一最值x=9

继续二阶导数y''=-1/[4x^(3/2)]-1/[4(x+27)^(3/2)]-1/[4(13-x)^(3/2)]

把x值代入y''测试:

y''(9)=-1/108-1/864-1/32

=-1/24<0,根据二阶导数定义,在x=9处为最大值

最大值y(9)=√(9+27)+√(13-9)+√9

=√36+√4+√9

=6+2+3

=11

∴在点(9,11)得到的最大值为11,没有最小值.

可见图像:

Answer 2

上面的大部分回答是错误的。前几天准备自主招生考试刚做过这道题。

用柯西不等式。

y^2≤[mx+n(x+27)+p(13-x)]·(1/m+1/n+1/p),取等号时，y得最大值。
mx+nx-px=0.
根据柯西不等式取等条件可知，当且仅当mx/(1/m)=n(x+27)/(1/n)=p(13-x)/(1/p)即(m^2)x=n^2(x+27)=p^2(13-m)时，取等号.
令m=1,则解得n=1/2,p=3/2（配系数很麻烦，我承认我是凑出来的）,此时x=9.
所以Y(max)=y(9)=3+6+2=11

最小值应该在边界取到吧，计算可知左边界值小于右边界值，y(min)=y(0)=3√3+√13.(这个函数求最小值，感觉很奇怪，我好像记得我做的原题只求最大值)

Answer 3

解：对函数求导得：Y’=0.5*(1/√(x+27)-1/√(13-x)+1/√x)，0<x<13
令Y’=0，化解得：√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))=1,0<x<13
设K=√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))，0<x<13
由于分母 x及x+27单调增加，分子13-x单掉减少，故K在0<x<13上单调减少
且x→0,K→∞；x→13,K→0 故K=1时，x有唯一解Xo
当x在（0，Xo）时，K>1，此时，Y'>0，Y单调递增
当x在（Xo,13）时，K<1，此时，Y'<0，Y单调递减
即在x=Xo处，Y有最大值，且x在端点处取得最小值
又因为Y(x=0)=√27+√13,Y(x=13)=√40+√13,显然：Y(x=0)<Y(x=13)
故Y最小值=Y(x=0)=√27+√13
现求最大值：解方程K=1，即√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))=1
由于该方程特殊，且仅有唯一解，观察得Xo=9是方程的唯一解
从而得到：Y最大值=11

Answer 4

依题意得：
X +27≥0 13-X≥0 X≥0
即定义域为：【0,13】
设A＞B
∵√（A+ 27） +√(13-A) +√A＞√(B +27) +√(13-B) +√B在区间【0,13】中恒成立
∴函数在区间【0,13】中
∴当X＝0时，有最小值： √27 +√13
当X=13时，有最大值： 2√10 +√13

Answer 5

详细的解答过程在图片里 ，打开图片放大可以看到，  如果对本题还有什么疑问或者不同的意见可以和本人通过QQ434801492来讨论