Question

已知正三棱锥的侧棱长为10 侧面积为144,求底面边长和高

Answer 1

由于知道侧面积及侧棱长,用正弦定理可求出侧面顶角度数.设侧面顶角为 a,则 144/3=1/2*10*10*sina,可以解得顶角 a=arcsin0.96 或 a=pai-arcsin0.96这两种结果.
下面以第一种情况为例（第二种是解法思路是一样的,你自己去解）：
侧面斜高就是：h侧=10*cos(1/2*arcsin0.96)
根据余弦定理,可求得侧面底边长为 b=sqrt(10^2+10^2-2*10*10*cos(arcsin0.96))
由于底面是等边三角形,棱锥顶点在底面的投影也即是重心位置,重心到边的距离是：边长*1/3,所以底面边心距为 1/3*b（b用上面那个式子代入）,这样底面边心距知道了,侧面斜高知道了,用勾股定理可求得正三棱锥体的高,即侧面斜高平方减去底面边心距平方再开方就行了.