Question

5.已知数列{an+}满足a1+=+1,an+1+=+an+++3的n次方,求出数列{+an+}的通项公式

Answer 1

已知a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+3ⁿ，则：
a₂=a₁+3
a₃=a₂+3²
a₄=a₃+3³
...
aₙ₋₁=aₙ₋₂+3ⁿ⁻²
aₙ=aₙ₋₁+3ⁿ⁻¹
将以上式子累加，发现等号两边的a₂+a₃+...+aₙ₋₁可以相互抵消
最后剩下：aₙ=a₁+3+3²+...+3ⁿ⁻¹
又根据等比数列求和公式，3+3²+...+3ⁿ⁻¹=3/2·(3ⁿ⁻¹-1)
所以aₙ=a₁+3+3²+...+3ⁿ⁻¹=1+3/2·(3ⁿ⁻¹-1)=1/2·(3ⁿ-1)
{aₙ}的通项公式为：1/2·(3ⁿ-1)