Question

数学全导数与全微分的区别是什么？如何判别？

Answer 1

1、含义上的区别

全导数：设z是u、v的二元函数z=f(u,v)，u、v是x的一元函数u=u(x)、v=v(x)，z通过中间变量u、v构成自变量x的复合函数。这种两个中间变量、一个自变量的多元复合函数是一元函数，其导数称为全导数。

全微分：表达式dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。

2、定理上的区别

全导数：一一型锁链法则在中间变量只有一个时可得；二一型锁链法则，设u=u(x)、v=v(x)在x可导，z=f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数z=f(u(x),v(x))在x可导；三一型锁链法则，在中间变量多于两个时可得。

全微分：函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B；若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

3、特性上的区别

全导数的出现可以作为一类导数概念的补充，其中渗透着整合全部变量的思想。

全微分可推广到三元及三元以上函数。函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数。

参考资料来源：百度百科-全导数

参考资料来源：百度百科-全微分