Question

问一道高二数学题（与数列有关）

已知等差数列{an}的通项公式为an=4n-2,等比数列{bn}的通项公式为bn=2/4^(n-1),，｛cn｝=an/bn，求｛cn｝的前n项和｛Pn｝的表达公式

写一下过程，详细的给加分

Answer 1

cn=an/bn
=(4n-2)/[2/4^(n-1)]
=(2n-1)4^(n-1)
cn=(2n-1)4^(n-1)

Pn=(2n-1)4^(n-1)+(2n-3)4^(n-2)+(2n-5)4^(n-3)+……+5*4^2+3*4^1+4^0
4Pn=(2n-1)4^n+(2n-3)4^(n-1)+(2n-5)4^(n-2)+……+5*4^3+3*4^2+4^1
两式相减：
-3Pn=-(2n-1)4^n+2*4^(n-1)+2*4^(n-2)+……+2*4^3+2*4^2+2*4^1+1
=-(2n-1)4^n+2[4^(n-1)+4^(n-2)+……+4^3+4^2+4^1]+1
=-(2n-1)4^n+2*4[4^(n-1)-1]/(4-1)+1
=-(2n-1)4^n+(8/3)*4^(n-1)-5/3
=-(2n-1)4^n+(2/3)*4^n-5/3
=-(2n-5/3)4^n-5/3
Pn=(1/9)(6n-5)4^n+5/9

Answer 2

a(n)=4n-2
b(n)=2/4^(n-1)
P(n)=a(n)/b(n)
=2(2n-1)*4^(n-1)/2
=(2n-1)*2^(2n-2)
=[(2n-2)+1]*2^(2n-2)
=(2n-2)*2^(2n-2)+2^(2n-2)
=A(n)+B(n)
A(n)=(2n-2)*2^(2n-2)
B(n)=2^(2n-2)=4^(n-1)

B(n)的前n项和求取比较容易，下面着重讲如何求A(n)的前n项
对于A(n)
A(n)=2*(n-1)*4^(n-1)
设A(n)的前n项和是S(n)
则
S(n)=2*[1*4^1+2*4^2+....+(n-2)*4^(n-2)+(n-1)*4^(n-1)]
4*S(n)=2*[1*4^2+2*4^3+.....+(n-2)*4^(n-1)+(n-1)*4^n]
上面两式相减可得：
3*S(n)=2*[(n-1)*4^n-4^(n-1)-4^(n-2)-...-4^3-4^2-4^1]
=2*{(n-1)*4^n-[4^(n-1)+4^(n-2)+...+4^2+4^1]}

下面的计算自己做吧，思路应该很清楚了。