Question

设数列an满足a1=2,λa(n+1)=an+2^n

求是否存在λ使an为等差数列，若有，求an通项公式,没有,说理由

设λ=1 bn=(4n-7)/an 数列bn前n项和为Sn,求满足Sn＞0的最小自然数n值

谢谢高手.求解,在线等
题目写错了，不好意思.修改后：设数列an满足a1=2,a(n+1)=λan+2^n

Answer 1

假设存在λ，使得{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a1=2，λa(n+1)=an+2^n，
∴λa2=a1+2；λa3=a2+4，即λ(2+d)=4；λ(2+2d)=6，
消去λ，得d²=-4，
∴d不存在，
因此，不存在λ，使得{an}是等差数列.

当λ=1时，a(n+1)=an+2^n，
∴an=a(n-1)+2^(n-1)，a(n-1)=a(n-2)+2^(n-2)…，a2=a1+2，
累加，得an=2^n，
∴bn=(4n-7)/an=(4n-7)/(2^n)，

易知当n≥2时，bn>0，Sn逐渐增大，
S1= -3/2，S2= -5/4，S3= -5/8，S4= -1/16，S5= 11/32，
∴使得Sn>0的最小自然数n为5.
（求使得Sn>0的最小自然数n的值时，也可用错位相减法先求出Sn，再令Sn求出n的最小值，但这种方法稍繁些）