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1) 取g(x)=f(x)-a/(a+b)，则g(0)=-a/(a+b)<0, g(1)=b/(a+b)>0
根据零点定理，存在c,g(c)=0，即0=f(c)-a/(a+b), f(c)=a/(a+b)得证
2) 根据拉格朗日中值定理，在(0,c), (c,1)上分别存在m,n点使得
f'(m)=(a/(a+b) -0)/(c-0) =a/c(a+b)
f'(n)=(1-a/(a+b))/(1-c) = b/(1-c)(a+b)
a/f'(m) = c(a+b)
b/f'(n)=(1-c)(a+b)
a/f'(m) + b/f'(n) = a+b
根据零点定理，存在c,g(c)=0，即0=f(c)-a/(a+b), f(c)=a/(a+b)得证
2) 根据拉格朗日中值定理，在(0,c), (c,1)上分别存在m,n点使得
f'(m)=(a/(a+b) -0)/(c-0) =a/c(a+b)
f'(n)=(1-a/(a+b))/(1-c) = b/(1-c)(a+b)
a/f'(m) = c(a+b)
b/f'(n)=(1-c)(a+b)
a/f'(m) + b/f'(n) = a+b
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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唯一庆幸的是我大学不学高等数学。
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中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。
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