Question

当|x+1|+|x-4|+|x-9|的最小值时，x的值是多少？

Answer 1

当|x+1|+|x-4|+|x-9|的最小值时，x取值满足以下三种情况之一：

• x <= -1。此时，|x+1|=-x-1，|x-4|=4-x，|x-9|=9-x。因此，|x+1|+|x-4|+|x-9| = (-x-1)+(4-x)+(9-x) = 12-3x。要使其最小值，需要令x取最小值，即x=-1。此时，|x+1|=0，|x-4|=5，|x-9|=10，所以|x+1|+|x-4|+|x-9|=15。

• -1 < x <= 4。此时，|x+1|=x+1，|x-4|=4-x，|x-9|=9-x。因此，|x+1|+|x-4|+|x-9| = (x+1)+(4-x)+(9-x) = 14。这是一个定值，不受x的取值影响。

• x > 4。此时，|x+1|=x+1，|x-4|=x-4，|x-9|=x-9。因此，|x+1|+|x-4|+|x-9| = (x+1)+(x-4)+(x-9) = 3x-12。要使其最小值，需要令x取最小值，即x=4。此时，|x+1|=5，|x-4|=0，|x-9|=5，所以|x+1|+|x-4|+|x-9|=10。

因此，当|x+1|+|x-4|+|x-9|的最小值时，x的值为-1，4，或者在区间(-1,4)内取任意值。