Question

已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4， P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8，P(ABC)=1/16,求恰好有一个发生的概率

RT

Answer 1

恰好有一个发生的概率是7/8。

因为P（BC）=P(AC)=0，所以P((A+B)C)=0，利用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，P(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A+B)+P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)=7/8。

相关信息：

概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验(用X代表)，偶然事件(用A代表)出现了若干次(用Y代表)。以X作分母，Y作分子，形成了数值(用P代表)。在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就称为A出现的概率。如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。

研究支配偶然事件的内在规律的学科叫概率论。属于数学上的一个分支。概率论揭示了偶然现象所包含的内部规律的表现形式。所以，概率，对人们认识自然现象和社会现象有重要的作用。

Answer 2

1/2。

从题目中给出的概率知，a和b不可能同时发生，但a和c能同时发生，b和c都也能同时发生，因此恰好发生一个事件包含以下三种情况：a发生但c不发生，b发生但c发生，c发生但a或者b不发生，所求概率就是以上三种情况的概率和.而p（a发生但c不发生）=p(a-c)=p(a)-p(ac)=3/16；p(b发生但c发生)=p(b-c)=p(b)-p(bc)=3/16。

p（c发生但a或者b不发生）=p(c)-p(bc)-p(ac)=1/8（最后的概率不好理解，画个文氏图就好理解了），从而恰好有一个发生的概率为：3/16+3/16+1/8=1/2。

概率的计算

是根据实际的条件来决定的，没有一个统一的万能公式。解决概率问题的关键，在于对具体问题的分析。然后，再考虑使用适宜的公式。

但是有一个公式是常用到的：

P(A)=m/n

“(A)”表示事件

“m”表示事件（A）发生的总数

“n”是总事件发生的总数

Answer 3

恰好有一个发生的概率=P(A∩B*∩C*)+P(A*∩B∩C*)+P(A*∩B*∩C)（A*表示A的逆。。。）
P(A∩B*∩C*)=P(A*∪B∪C)*=1-P(A*∪B∪C)（摩根定律）
P(A*∪B∪C)=P(A*)+P(B)+P(C)-P(A*∩B)-P(B∩C)-P(A*∩C)+P(A*∩B∩C)（容斥原理）
P(A*)=1-P(A)
P(A*∩B)=P(B)-P(A∩B)（B发生且A不发生）
P(A*∩C)=P(C)-P(A∩C)（C发生且A不发生)
P(A*∩B∩C)=P(B∩C)-P(A∩B∩C)（BC发生且A不发生)
代入题目条件计算得P(A∩B*∩C*)=P(A*∪B∪C)*=1-P(A*∪B∪C)=1/16
因此，恰好有一个发生的概率=P(A∩B*∩C*)+P(A*∩B∩C*)+P(A*∩B*∩C)=3/16

Answer 4

证明如下
(A∪B)∩C包含于C
所以P(C)>=P((A∪B)∩C)=P((A∩C)∪(B∩C))
=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩C∩B∩C)
=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)
代入数据得
1/4>=1/6+1/6-0
1/4>=1/3
矛盾