Question

基础解系可以是0吗，比如Ax=0的系数矩阵为（1，0，0；0，1，0；0，0，0；）？

Answer 1

基础解系是解空间的一组基。所谓“基础”，顾名思义，指的是：基础解系可以线性表示解空间当中任意一个解向量。需要指出，一个线性方程组解空间的基础解系的选取并不唯一。假设这个解空间的维数是n-r，那么解空间中任意n-r个线性无关的解向量构成的向量组都可以作为这个解空间的基础解系。相信你也注意到了上文提到的“线性无关”这一基础解系作为向量组的基本属性。如果将零向量放入基础解系，那么基础解系就会变成一个线性相关的向量组。因为任何一个含有零向量的向量组都一定是线性相关的。因此，在“线性方程组解的结构”这一节内容中，关于基础解系的定义：“解空间中任意n-r个线性无关的解向量”已经隐含了“零向量不可能被纳入基础解系”这一层含义了。另外，需要指出，题主所举例的这个齐次方程组的系数矩阵A=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]的秩rank(A)=2。因为系数矩阵的列数(解向量中的变元数)等于3，所以这个齐次方程组的解空间是1维的。它的一个基础解系为：[0;0;1]

Answer 2

齐次线性方程组Ax=0的解可以是零向量，但基础解系中不能有零向量。基础解系是所有解向量的一个极大无关组，而包含零向量的向量组一定是线性相关的。