Question

已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心

已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心
1.求证：平面MNG//平面ACD
2.求S△MNG：S△ADC

Answer 1

解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
则有：
连结PF、FH、PH有MN‖PF，又PF 平面ACD，∴MN‖平面ACD。
同理：MG‖平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG‖平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。
解：由（1）可知 ，
∴MG＝ PH，又PH＝ AD，∴MG＝ AD
同理：NG＝ AC，MN＝ CD，
∴ MNG∽ ACD，其相似比为1：3，
∴ ＝1：9
点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

呵呵 数学目标的吧？我刚找到的，一起看吧

Answer 2

同问

Answer 3

(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连结PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解　由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．