Question

已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点

已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点
（1）求向量GA+向量GB+向量GO
（2）若PQ过△ABO的重心G，且向量OA=a，向量OB=b，向量OP=ma
向量OQ=nb，求证1/m + 1/n =3

Answer 1

、求向量GA+向量GB=2*向量GM
又因为G是△ABO的重心
所以向量GO=-2*向量GM
所以求向量GA+向量GB+向量GO=0
2、方一：特殊值
设p在A点，则Q在中点
所以m=1，n=1/2
所以
1/m + 1/n =3

方二：
显然OM = 1/2(a+b).因为G是△ABO的重心， 所以? OG=2/3OM =1/3 (a+b).
∵P、G、Q三点共线有 ，PG,GP 共线， 所以，有且只有一个实数λ，使PG=λ GQ .
而PG =OG -OP = 1/3(a+b) - ma ，
GQ= OQ-OG =nb -1/3 (a+b)，
∴1/3(a+b) - ma=nb -1/3 (a+b)，
又因为a、b不共线，
所以 1/3-m=-1/3λ,1/3=λ(n-1/3)
消去λ，
整理得 3mn=m+n ，
故1/m +1/n =1/3

Answer 2

（1）倍长中线-------BA'=AO----AA'上，令·GA=G'G=A'G'其实就是设那个点为G'向量GA=向量G'G然后 易得BG'=GO-----三个向量就在一个三角形里啦~和为0（2）(跟我画图)形如三角形ABC, D为 BC 边上任意一点，设向量AD=向量mAB+向量nAC 由BDC共线可以 推出m+n=1把AP ,AQ用AB BO AO表示一下，由告诉你的定理和重心的性质易得到结论啦