Question

如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE垂直AG于点E，BF平行DE，且交AG于点

如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE垂直AG于点E，BF平行DE，且交AG于点F，求证：AF－BF=EF

Answer 1

证明：如图，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△AED和△BFA中，
∵ ∠AED=∠AED ∠ADE=∠BFA AD=AB ，
∴△AED≌△BDA（AAS），
∴BF=AE，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；
即AF=BF+EF

Answer 2

证明：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，∠AFB=∠AED∠ADE=∠BAFAD=AB​，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE．
∵AF=AE+EF，
∴AF-BF=EF．