Question

一道二次函数题

在矩形ABCD中,顶点B,C在x轴的正半轴上,D在抛物线y=-2/3x^2;+8/3x上,矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里，设点A的坐标为（x,y)，矩形的周长为P
1.求P关于x的函数解析式
2.是否存在这样的矩形，它的周长为9？请说明理由

Answer 1

1.解 如题所述, 点A（x，y）如图甲所示,包含在抛物线y= -2/3 x²+ 8/3 x与x轴围成的区域里，记f⒳= -2/3  x² + 8/3 x,其反函数为f¯¹(x),  A点为(0, 0)、（2，8/3）、（4，0）时，A、B、C、D成一直线， P不存在，

   ∴P=2y+2 [f¯¹(x)- x]

   ∴ P=2f⒳+2f¯¹(x)- 2x  

(0<x<2 或2<x<4, x、y为A点坐标，f⒳=-2/3 x&sup2;+8/3 x，f&macr;&sup1;(x)为f⒳的反函数)；

2．需要考察P的最大值, 此时D（x，y）点必在抛物线上,我们只需考察D点位于抛物线对称轴左则即可,如图乙所示，这时在P=2f⒳+2f&macr;&sup1;(x)- 2 x中，

    f⒳=-2/3 x&sup2; + 8/3 x， f&macr;&sup1;(x)=4-x，

所以 P= -4/3 x&sup2;+ 16/3 x+8-2x-2x，

即   P=−4/3 x&sup2;+4/3x+8= -4/3(x−1) &sup2;+28/3， 当X=1时，Max P =28/3>9,

   ∴存在这样的矩形，它的周长为9.

Answer 2

1、关于A点的条件不足
2、当P最大时，A、D点必然均在抛物线上。此时，P=4-2x+2*（-2/3x^2+8/3x）=-4/3x^2+10/3x+4，其最大值为73/12<9,所以不存在。