Question

如图，矩形ABCD中，点E是∠ABC的平分线上的一点，且AE⊥CE点E，连接ED，BE与AD边交于

点F。 （1）求证：EF=ED； （2）若AB=3，BC=5，求四边形BCDE的面积。

Answer 1

（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以AD=BC
AB=DC
角ABC=角ADC=90度
AD平行BC
所以角AFB=角CBE
因为E是角ABC的平分线上的一点
所以角ABE=角CBE=45度
所以角AFB=45度
因为角AFB=角EFD
所以角EFD=45度
因为AE垂直CE
所以角AEC=90度
所以角AEC+角ABC=180度
所以A,B,C,E四点共圆
所以角ABE=角ACE=45度
因为角AEC=角ADC=90度（已证）
所以A,C,D,E四点共圆
所以角ACE=角EDF
所以角EDF=45度
所以角EFD=角EDF=45度
所以EF=ED
(2)解：因为ABE=角AFB=45度
所以AB=AF
因为DC=AB=3
所以AF=3
因为DF=BC-AF
BC=5
所以DF=2
因为角ADC=90度（已证）
AD平行BC（已证）
所以四边形BCDF是梯形
所以S梯形BCDF=1/2*(DF+BC)*CD
所以S梯形BCDF=21/2
因为角EFD=角EDF=45度
角EDF+角EFD+角DEF=180度
所以角DEF=90度
所以三角形DEF是等腰直角三角形
所以S等腰直角三角形DEF=1/2*EF*ED
因为EF=ED
DF^2=EF^2+ED^2=4
所以EF=ED=根号2
所以S等腰直角三角形DEF=1
因为四边形BCDE的面积=S梯形BCDF+S三角形DEF=(21/2)+1=23/2
所以四边形BCDE的面积是23/2