Question

知函数f(x)满足f(log以a为底x的对数）=a(x^2-1)/x(a^2-1),其中a>0,a不等于1

知函数f(x)满足f(log以a为底x的对数）=a(x^2-1)/x(a^2-1),其中a>0,a不等于1（1）求f(x)解析式及其定义域（2）在函数y=f（X）的图像上是否存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行，如果存在，求出两点，如果不存在，说明理由（3）当a=2时，若对于【1，2】上的每一个值，不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立，求实数m的范围

Answer 1

(1)用对数恒等式x=a^(logaX) f(logaX)=a(a(x^2-1)/x(a^2-1)=[a(a^(2logaX) -1)]/[a^(logaX)](a^2-1) 把logaX换成x得f(x)=a(a^(2x)-1)/a^x(a^2-1) 函数定义域为X>0 (2)存在， 当x=1,y=1 当x=-1,y=1 其中两个点是（1，1）（-1，1）因为此纵坐标相等，使过这两点的直线与x轴平行世隔绝 （3）a=2时 f(x)=2(4^x-1)/2^x*3 要使对于【1，2】上的每一个值，不等式f(x)>(1/2)^x+m恒成立，必须f(x)-[(1/2)^x+m]>0 把f(x)=2(4^x-1)/2^x*3 代入整理得[2*4^x-3m2^x-5]/2^x *3 因为`2^x *3 >0 2*4^x-3m2^x-5在【1，2】是单调增加的 只要在x=1大于零就行 把x=1代入2*4^x-3m2^x-5式得 -6m+3>0 m<1/2 实数m的范围 (-无穷大，1/2）