Question

证明f(x)=2^x/(4^x+1)当x属于(0,1)时单调递减

证明f(x)=2^x/(4^x+1)当x属于(0,1)时单调递减
用f(x1)-f(x2)的那种怎么做?

Answer 1

2^x/[(2^x)^2+1]=1/[2^x+1/2^x]
所以关键在2^x+1/2^x
因为我们知道x+1/x的特性是(0,1)上单调减，(1,+无穷)单调增
因为x属于(0,1),2^x属于(1, 2)，所以2^x+1/2^x在(0, 1)上单调增
所以1/[2^x+1/2^x]在(0, 1)上单调减

对于x1>x2，使用f(x1)-f(x2)的话，我演示2^x+1/2^x吧
2^x1-2^x2+1/2^x1 - 1/2^x2 = (2^x1-2^x2)[1-1/2^(x1+x2)]
因为x1>x2,所以2^x1-2^x2>0,

x1+x2>0, 2^(x1+x2)>1, 所以1-1/2^(x1+x2)>0
所以对于x1>x2, f(x1)>f(x2)，所以2^x+1/2^x是增函数，所以1/[2^x+1/2^x]是减函数