Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0）求不等式 求不等式 cx^2+bx+a 的解集

这道题貌似很难得样子我看过程答案也不明白求解答
其中有一步我看不懂
就是为什么
ax²+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0）从而能判断出a＜0？

Answer 1

由不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β可知道
ax^2+bx+c=a(X-α)(X-β),且a<0
【 因为ax^2+bx+c>0，而X-α>0，X-β<0，所以要便ax^2+bx+c>0，必须a<0 】
所以b=-a(α+β),c=aαβ
所以cx^2+bx+a=aαβx^2-a(α+β)x+a=a(αx-1)(βx-1)
故cx^2+bx+a>0的解集等价于a(αx-1)(βx-1)>0的解集
又a<0，0<1/β<1/α,求得解集为1/β<X<1/α

追问

还是不懂为什么a＜0

追答

——重新讲：
设 y=ax^2+bx+c>0 它的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0） ——这是已知条件
意思是：在 0＜α＜x＜β （或者说在 α＜x＜β ）这个区间上，y>0 ——这个是这样吧
那么函数 y （也就是 y=ax^2+bx+c ）是一个二次函数，图像是一条抛物线
当 二次项系数 a＞0 时，开口向上，则 y>0 （它的）解集是：x＜α 或 x＞β ——明白？
当 二次项系数 a＜0 时，开口向下，则 y>0 （它的）解集是：α＜x＜β ——同样明白？
所以，对于一个二次函数y>0的解集是α＜x＜β 时，必定有：二次项系数 a＜0 ——好吗？