Question

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度。

Answer 1

解：圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的 半径R=5. 圆心为C(1,2)直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0, 由于方程组x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.所以对于一切实数m，x=3，y=1都是直线方程的解，就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A（3，1）由于(3-1)^2+(1-2)^2=5<25, 所以点A到圆心C的距离|AC|<5=R，因而点A（3,1)在圆C内，所以不论m为何值直线L都与圆相交。那么经过圆C内的定点A的弦中，连接CA，以A为中点且垂直于CA的弦为最短，且以CA为直径时为最长弦长，由于k(CA)=(1-2)/(3-1)= -1/2，所以k(最短弦)=2=-(2m+1)/(m+1),解得：m=-3/4
设最短弦长为d,那么(d/2)^2=R^2-|CA|^2=25-5=20,所以d=4√5
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