Question

已知圆C：(X-1)²+（y-2）²=25直线（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0，

求证直线与圆相交
求直线被圆所截的最短弦长时直线的方程和最短弦长

Answer 1

1）由（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令 2x+y-7=0，x+y-4=0，解得 x=3，y=1
所以，直线 （2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 恒过定点 P（3，1）。
由于 (3-1)^2+(1-2)^2=5<25，所以，点P在圆内，
因此，直线与圆恒有两个交点。

2）圆心（1，2），半径 r=5
直线被圆所截的弦最短，则圆心到直线的距离最长。
由于 d<=CP=√[(3-1)^2+(1-2)^2]=√5，
所以，直线被圆所截的弦最短时，圆心到直线的距离 d=√5，
此时 CP丄L，
由于 kCP=(1-2)/(3-1)=-1/2，
所以 kL=2，故方程为 y-1=2(x-3) 即 2x-y-5=0，
并且 最短弦长=√（r^2-d^2)=√(25-5)=2√5。

Answer 2

把直线整理一下，得到，
(x+y-4)+m(2x+y-7)=0
可以看出无论m取何值，直线总是恒过定点(3,1)
(3,1)这点在圆的内部，直线恒过圆内一点，所以相交

最长的弦是过圆心，最短的弦是(3,1)是弦的中点
最长弦是10，最短弦自己算吧

Answer 3

把直线化简成 m(2x+y-7)+x+y-4=0
令 2x+y-7=0 x+y-4=0 解出来 x=3 y=1
这就说明 这条直线过定点 （3,1）
显然这个定点在圆内，所以 直线和圆肯定相交。
最短弦长就应该是直线与圆心和定点连成 的直线相垂直。圆心和定点连成的直线的斜率是 -1/2
所以直线的斜率应该是2 这样直线就求出来了。弦长就可求了。