Question

高二数学解答（有好评）

已知椭圆方程为x²/4+y²=1.设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R，求证向量OQ*向量OR为定值

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Answer 1

椭圆方程为x2 / 4 +y2＝1，设P（x0，y0），A（-1，t），B（-1，-t），
则有
x0^2+4y0^2-4=0 1/4+t^2=1
在直线AP的方程y−t =t-yo/-1-x0(x+1)中，令x=-4，整理得yQ＝ (4+x0)t−3y0/(1+x0)
同理，yR＝ −3y0−(4+x0)t /(1+x0)
①×②，并将y0^2-1/4x0^2,t2=3/4代入得yQ•yR=9yo^2−(4+x0)^2t^2/(1+x0)2
=−3(1+x0)2 /(1+x0)2 =-3
而OQ •OR ＝(−4，yQ)•(−4，yR)＝16+yQ•yR=13为定值．
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