Question

抛物线y=-1/2x+bx+c与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,且OA=2，OC=3

1、求抛物线对应的函数解析式。
2、若点D（2,2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

将(-2,0),(3,0),(0,3)代入y=ax²+bx+c => a=-1/2,b=1/2,c=3
抛物线对称轴横坐标为: -b/(2a)=(-1/2)/(2×(-1/2))=1/2
设p点坐标为(1/2,x)
则|DB|定长 ， 只需判定|PD|+|PB|最小值
过抛物线对称轴作点D（2，2）的对称点点E（-1，2），则|PD|=|PE|
∴|PD|+|PB|=|PE|+|PB|
∵两点之间线段最短 ∴当PB，PE成一条直线时△BDP的周长最小
从而的P点坐标为(1/2,5/4)