Question

已知直线Y=-根号3分之3X+1与X轴,Y轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰

△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点.
1、求S△ABC面积
2、证明△BOP面积是个与a无关的常数
3、若△ABC和△ABP面积等，求a的值

Answer 1

解：如图，根据题意，P点有两种可能P1和P21、 先求P1点的a
根据y=-[(√3)/3]x+1得：A点的坐标为（√3，0）、B点的坐标为（0，1）
∴OB=1、OA=√3, AB=√(OB^2+OA^2)=2=AC
∵∠BAC=90°∴三角形ABC的面积=(1/2)AB×AC=2
三角形ABP1的面积=梯形AODP1的面积+三角形AOB的面积－三角形BDP1的面积=三角形ABC的面积
∵DP1=1、OA=√3、OD=a、OB=1、DB=OD+OB=a+1
∴S△ABP1=(1/2)(DP1+OA)×OD+(1/2)OA×OB－(1/2)DP1×DB=（1/2）AB×AC
∴(1/2)（1+√3）×a+(1/2) √3×1－(1/2) ×1×(a+1)= （1/2）×2×2
解得：a=(1/3)[(5√3)-3]
∵P1在第四象限∴a=-(1/3)[(5√3)-3]
2、 求P2点的a
三角形ABP2的面积=梯形AOEP2的面积－三角形AOB的面积－三角形BEP2的面积=三角形ABC的面积
∵EP2=1、OA=√3、OB=1、OE=a、BE=OE-OB=a-1
∴S△ABP2=（1/2）（EP2+OA）×OE－（1/2）OA×OB－（1/2）EP2×BE=（1/2）AB×AC
即：（1/2）（1+√3）a－（1/2）×√3×1－（1/2）×1×(a-1) =（1/2）×2×2
解得：a=(√3)+1
∴实数a的值为-(1/3)[(5√3)-3]或(√3)+1
看完了好评我哦~~

追问

等等哥。。。
1,2小问答案那

追答

三角形ABC的面积=(1/2)AB×AC=2

追问

AC多少？第二问？

追答

由y=（-√3/3）x+1，

令y=0，x=√3，∴A（√3，0）

令x=0，y=1，∴B（0，1）∴AB=√[（√3）²+1²]=2，

过A作AC⊥AB，且AC=AB=2，

S△ABC=2²×1/2=2.

设P（a，1/2），过P作PQ⊥x轴于Q，Q（a，0）

△PQA的面积：S1=（√3-a）×1/2×1/2=（√3-a）/4，

四边形ABPQ面积S=△ABO+梯形OBPQ，

=1×√3÷2+(1+1/2)(-a)÷2

=√3/2-3a/4,

也可以表示为S=△APQ+△ABP（∵△ABP=△ABC=2）

=（√3-a）/4+2，

∴√3/2-3a/4=（√3-a）/4+2，

a=（√3-8）/2.

追问

第二题我没看懂，能解释下吗（100赏了，求给力）

追答

（1）
由y=（-√3/3）x+1，
令y=0，x=√3，∴A（√3，0）
令x=0，y=1，∴B（0，1）∴AB=√[（√3）²+1²]=2，
过A作AC⊥AB，且AC=AB=2，
S△ABC=2²×1/2=2.
（2）
第二小题，你再看下，我也还不是很明白

（3）
∴S△ABP=(1/2)(DP1+OA)×OD+(1/2)OA×OB－(1/2)DP1×DB=（1/2）AB×AC
∴(1/2)（1+√3）×a+(1/2) √3×1－(1/2) ×1×(a+1)= （1/2）×2×2
解得：a=(1/3)[(5√3)-3]

追问

擦，第二小题，我要证明啊。。大神帮忙想想
证明△BOP面积是个与a无关的常数
算了算了，还是采纳你吧。。。
态度好。。。