Question

如图，三角形abc中，以bc上一点o为圆心，以ob为半径的圆，交ab于点m，交bc于点n，且ba×

如图，三角形abc中，以bc上一点o为圆心，以ob为半径的圆，交ab于点m，交bc于点n，且ba×bm=bc×bn。1.求证ac⊥bc，2如果cm是圆o的切线，n为oc的中点，当ac=4，求ab的值

Answer 1

（1）

证明：

连接MN

∵BN是⊙O的直径

∴∠BMN=90°

∵BA×BM=BC×BN

∴BA/BN=BC/BM

又∵∠ABC=∠NBM（公共角）

∴△ABC∽△NBM（SAS）

∴∠BCA=∠BMN=90°

即AC⊥BC

（2）

连接OM

∵CM是⊙O的切线

∴∠CMO=90°

∵N是OC的中点

∴MN=½OC=ON（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴△OMN是等边三角形

∴∠MON=60°

则∠B=30°

∴AB=2AC=4