Question

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线夹角为a，离心率为e则cos(a/2)等于

求大神速解。

Answer 1

渐近线斜率是±b/a

夹角是α
则渐近线和x轴正方向夹角是α/2或π/2-α/2
则k=b/a=tan(α/2)或tan(π/2-α/2)=cot(α/2)

e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+(b/a)²=1+k²
所以k²=e²-1

若k²=tan²(α/2)=e²-1
则cos²(α/2)=1/sec²(α/2)=1/[(1+tan²(α/2)]=1/e²
cos(α/2)=1/e

若k²=cot²(α/2)=e²-1
则cos²(α/2)=1/sec²(α/2)=1/[(1+tan²(α/2)]=1/[(1+1/cot²(α/2)]
cos²(α/2)=1/[1+1/(e²-1)]=(e²-1)/e²
cos(α/2)=√(e²-1)/e

综上
cos(α/2)=1/e或cos(α/2)=√(e²-1)/e

Answer 2

这道题要分两类，结果是1/e或者b/（ae）

追问

恩您的答案是对的，能否给出1/e的求解过程？谢谢

追答