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离散数学证明题

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Answer 1

证明等价关系，只需证明满足三性质：自反、对称、传递
二元关系即 <<x,y>,<u,v>> ⇔ xv=yu ⇔ x/y=u/v①

1）证明对称性
因为对任意正整数x,y，显然有xy=yx
<<x,y>,<x,y>> ⇔ xy=yx，即满足自反性

2）证明对称性
由于
<<u,v>,<x,y>> ⇔ uy=vx ⇔ xv=yu ⇔ <<x,y>,<u,v>>
即<<u,v>,<x,y>> ⇔ <<x,y>,<u,v>> 所以满足对称性

3）证明传递性
假设任意两组序偶<x,y>,<u,v>和<u,v>,<m,n>分别满足该二元关系R，即
<<x,y>,<u,v>> ⇔ x/y=u/v
<<u,v>,<m,n>> ⇔ u/v=m/n
得x/y=m/n, 即
x/y=m/n ⇔<<x,y>,<m,n>>
所以<x,y>,<m,n>也满足该二元关系R
即R具有传递性

总之关系R是等价关系