Question

已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC,点E,F,G,H,分别是AB,CD,AC,BD的中点，求证：四边形EGFH是菱形

Answer 1

证明：

∵F 是CD的中点，G是AC的中点

∴FG是△ACD的中位线

∴FG//AD，FG=1/2AD

∵E是AB的中点，H是BD的中点

∴EH是△ABD的中位线

∴EH//AD，EF=1/2AD

∴FG//EH,FG=EH

∴四边形EGFH是平行四边形

∵G是AC的中点，E是AB的中点

∴EG是△ABC的中位线

∴EG=1/2BC

∵AD=BC

∴EG=EH

∴四边形EGFH是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）

凹四边形

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

Answer 2

证明：
∵E是AB的中点，H是BD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴EH=1/2AD
同理：
FG是△ACD的中位线，EG是△ABC的中位线，FH是△BCD的中位线
∴FG=1/2AD，EG=1/2BC，FH=1/2BC
∵AD=BC
∴EH=EG=FG=FH
∴四边形EGFH是菱形