Question

设A,B是N阶对称阵，且AB+E及A都可逆，证明(AB+E)^(-1)A是可逆的对称阵

Answer 1

证明：
[(e+ab)^-1a]^t
（解释：^t表示转置，楼主懂得，证明矩阵对称的思路：就是证明转置矩阵是否等于矩阵本身）
另外，题中：a+b都是n阶对称矩阵。不对吧，应该是a和b都是n阶对称矩阵
[(e+ab)^-1a]^t
=a^t[(e+ab)^-1]^t
=a[(e+ab)^t]^-1
=a(e+b^ta^t)^-1
=a(e+ba)^-1
=[(a^-1)^-1](e+ba)^-1
=[(e+ba)a^-1]^-1
=(a^-1+b)^-1
而
(e+ab)^-1a
=(e+ab)^-1(a^-1)^-1
=[a^-1(e+ab)]^-1
=(a^-1+b)^-1
∴(e+ab)^-1a=[(e+ab)^-1a]^t
∴(e+ab)^-1a也是对称矩阵
希望对你有帮助，望采纳，谢谢~

Answer 2

用M'表示M的转置.
先证(AB+E)^(-1)A
=
(B+A^(-1))^(-1).
由A(B+A^(-1))
=
AB+E左乘(AB+E)^(-1),
右乘(B+A^(-1))^(-1)即得.
之后就好做了:
((B+A^(-1))^(-1))'
=
(B'+(A^(-1))')^(-1)
=
(B+(A')^(-1))^(-1)
(B
=
B')
=
((B+A^(-1))^(-1))
(A
=
A').