Question

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在，求...

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：可设直线L:y=x+t.(t∈R).与圆的方程联立，得：2x²+2(t+1)x+t²+4t-4=0.⊿=4(t+1)²-8(t²+4t-4)＞0.===>-3-3√2＜t＜3√2-3.可设点A(a,a+t),B(b,b+t),由伟达定理得a+b=-（t+1).ab=(t²+4t-4)/2.又由题设可知，OA⊥OB.===>(a,a+t)·(b,b+t)=0.===>ab+(a+t)(b+t)=0.===>2ab+(a+b)t+t²=0.===>(t²+4t-4)-t(t+1)+t²=0.===>t1=1（舍）,t2=-4.∴直线L:y=x-4.

Answer 2

解：设直线L的方程为：y=x+b，
且直线L被圆C截得的弦AB的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立： y=x+b
x^2-2x+y^2+4y-4=0
得 2x^2+（2+2b）x+b^2+4b-4=0
由题意 得：△=（2+2b）2-8（b2+4b-4）＞0
得： -3-3√2 ＜b＜-3+3√2
由韦达定理可得：x1+x2=-b-1，
x1x2=b^2+4b-4\2
又以AB为直径的圆过原点．
∴ x1x2+y1y2=0
化得： 2x1x2+b(x1+x2)+b^2=0
化简 b2+3b-4=0
∴ b=-4 或 b=1 合题意
所求的直线方程为：x-y-4=0 和 x-y+1=0

Answer 3

思维定势一：只要看见以XX为直径圆过一定点。一律使用直径上两线段垂直建立斜率关系。
思维定热二：出现直线与曲线有两交点，并且所研究的问题由两个交点共同决定，并且两交点的地位同等。这样问题必然用违达定理。

Answer 4

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