Question

已知圆c:x^2+y^2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆c截得弦AB为直径的圆经过原点，若存...

已知圆c:x^2+y^2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆c截得弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

L:y=x+t.
2x²+2(t+1)x+t²+4t-4=0.
⊿=4(t+1)²-8(t²+4t-4)＞0
-3-3√2＜t＜3√2-3
设点A(a,a+t),B(b,b+t)
a+b=-（t+1).ab=(t²+4t-4)/2
(a,a+t)·(b,b+t)=0
t1=1（舍)t2=-4.
直线L:y=x-4.

Answer 2

解：设直线L的方程为：y=x+b，
且直线L被圆C截得的弦AB的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立： y=x+b
x^2-2x+y^2+4y-4=0
得 2x^2+（2+2b）x+b^2+4b-4=0
由题意 得：△=（2+2b）2-8（b2+4b-4）＞0
得： -3-3√2 ＜b＜-3+3√2
由韦达定理可得：x1+x2=-b-1，
x1x2=b^2+4b-4\2
又以AB为直径的圆过原点．
∴ x1x2+y1y2=0
化得： 2x1x2+b(x1+x2)+b^2=0
化简 b2+3b-4=0
∴ b=-4 或 b=1 合题意
所求的直线方程为：x-y-4=0 和 x-y+1=0

Answer 3

解：存在.
设存在直线l，设其方程为y=x+b，
由x^2-2x+4y-4=0
y=x+b

消去y得
2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0

设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-b-1,x1x2=(b^2+4b-4)/2
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+(x1+x2)b+b^2=(b^2+2b-4 )/2

由题意得OA⊥OB，
把b=1，－4－分别代入方程内，
均有△>0，∴b=1,－4满足条件.

∴存在满足条件的直线x-y+1=0,x-y+4=0

Answer 4

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Answer 5

不存在

Answer 6

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