Question

已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线m，使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求

Answer 1

(x-1)²+(y+2)²=9
如果存在
则圆心C(1,-2)和原点O的连线的斜率是1
显然不成立
所以不存在

追问

不对哦，应存在。

Answer 2

假设直线m存在，设其为：y=x+k，则根据题意，以弦AB为直径的圆的圆心一定在AB的垂直平分线上，即在圆C垂直于AB的一条直径上，而直径的方程为y=-x-1，设直线m的圆心为（a，-a-1）则k=-2a-1，所以直线m：y=x-2a-1，此时，可以求解处(AB/2)^2=-2a^2+4a+7（方法：设m与C的一个交点为(t,s)，则 t^2+s^2-2t+4s-4=0，由弦长公式有：(AB/2)^2=(t-a)^2+(s+a+1)^2，又有s=t-2a-1，综合三个式子即可得到），而圆心到原点的距离为：a^2+(a+1)^2，令：(AB/2)^2=(t-a)^2+(s+a+1)^2=a^2+(a+1)^2，解得a=1或a=-3/2，所以直线m为：y=x-3或y=x+2

Answer 3

设存在，方程为x-y+b=0。则未知圆方程:x2+y2-2x+4y-4+m(x-y+b)=0。代入(0，0)，mb=4。将圆心坐标代入直线方程得关于m和b的式子，联立解得b=1或-4，得直线方程。

Answer 4

设直线m方程为y=x+a, 并设AB中点为C. 要使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点O, 则应有CA=CB=CO. 求出交点坐标,据此列出方程.若有解,则存在,若无解,就不存在这样的直线m