Question

已知圆c：x^2+y^2-2x+4y-4=0, 是否存在斜率为1的直线l,使l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点？两种解法

听说这题有更简单的解法，网上流行的解法都是更复杂的。求解！

Answer 1

一、斜率为1的直线l设为Y=X+a，若弦AB过原点，则a=0，将Y=X+a=X代入圆的方程，解出交点AB分别为（1，1）（-2，-2），AB弦长=3根号2，而圆的直经=6，显然不符合题意。说明不存在这样的直线l
二、将圆x^2+y^2-2x+4y-4=0,化成（X-1）^2+（Y+2）^2=3^2，圆心（1，-2），半径为3。
斜率为1的直线l设为Y=X+a，过圆心才可能相交为直径，于是有-2=1+a，a=-3，直线l为Y=X-3，显然不过原点，不符合题意，无解。

追问

这道题是有答案的 我在寻更简单的方法

追答

对不起，本题看错了，解得不对。

Answer 2

假设存在
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=4 A2=-1
A1=4（舍去）
因此存在这样的直线
Y=X-1
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
节下来检验A是否满足题仪即L要与圆C相交求出A的范围

我拉的