Question

已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆截得的弦长为AB，以AB为直径的圆经过原点。

若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

令A(x1,y1)，B(x2,y2)
若存在直线L使得弦AB为经过原点的圆M的直径
则圆M的圆心坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
圆M的半径为AB/2
于是得到圆M的方程为[x-(x1+x2)/2]^2+[y-(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2
因圆M过原点(0,0)
则有[(x1+x2)/2]^2+[(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2
即有(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=AB^2（*）

令直线L方程为y=x+m（注意到k=1）
代入圆C方程有2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0
由韦达定理有
x1+x2=-(m+1)（I）
x1x2=(m^2+4m-4)/2
由弦长公式有
AB=|x1-x2|*√(1+k^2)（注意到k=1）
=√2*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√2*√(-m^2-6m+9)（II）

因A、B都在直线L上，则有
y1=x1+m
y2=x2+m
两式相加得y1+y2=x1+x2+2m=m-1（III）

将（I）（II）（III）代入（*）得
m^2+3m-4=0
解得m=-4或m=1

综上可知，满足条件的直线L有两条：
y=x-4
y=x+1