Question

已知圆C;X2+Y2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点,

若存在,求出直线L的方程,若不存在,说明理由.

Answer 1

假设存在
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=4 A2=-1
A1=4（舍去）
因此存在这样的直线
Y=X-1
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
节下来检验A是否满足题仪即L要与圆C相交求出A的范围

Answer 2

圆C化成标准方程为（x-1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即kCM•kl=
b+2
a-1
×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|2=（
|1+2-2a-1|
2
）2=2（1-a）2
∴|MB|2=|CB|2-|CM|2=-2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a2+4a+7=a2+b2，得a=-1或
3
2
，b=2
当a=
3
2
时，b=-
5
2
，此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．

Answer 3

解：圆C化成标准方程为（x-1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即kCM•kl=b+2 a-1 ×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|2=（|1+2-2a-1| 2 ）2=2（1-a）2
∴|MB|2=|CB|2-|CM|2=-2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a2+4a+7=a2+b2，得a=-1或3 2 ，b=2
当a=3 2 时，b=-5 2 ，此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．