Question

已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆截得的弦长为AB，以AB为直径的圆经过原点。

l的方程

Answer 1

设直线 L 的方程为 y=x+b ，代入圆方程得 x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0 ，

化简得 2x^2+(2b+2)x+(b^2+4b-4)=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2= -b-1 ，x1*x2=(b^2+4b-4)/2 ，
因此 y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b^2=(b^2+2b-4)/2 ，
由于以 AB 为直径的圆过原点，因此 OA丄OB ，则向量 OA*OB=0 ，
所以 x1x2+y1y2=0 ，
即 (b^2+4b-4)/2+(b^2+2b-4)/2=0 ，
解得 b1=1 ，b2= -4 ，
由于判别式=(2b+2)^2-8(b^2+4b-4)= -4b^2-24b+36>0 ，因此 b1、b2 均满足，
所以，所求 L 的方程为 y=x+1 或 y=x-4 。

Answer 2

设直线l形如：y=x+b
设过圆心的圆为：圆C
则圆C方程形如：x²+y²-2x+4y-4+a（x+b-y）=0
圆过原点 推出：（0，0）在圆C上 得：-4+ab=0 ①
以弦AB为直径 推出：圆C的圆心在y=x+b上 得3-a+b=0 ②
由①②得：b1=-4 b2=1
即l1：y=x+1
l2：y=x-4