Question

已知圆x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线，使截得的弦长AB，即以AB为直径的圆过原点

Answer 1

解：圆的方程x²+y²-2x+4y-4=0
设直线AB为y=x+b
点A（x1，y1）B（x2，y2）
根据题意，AB为直径，且过原点，则y1/x1*y2/x2=-1
x1x2+y1y2=0
将y=x+b代入圆的方程
化简：2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0
韦达定理：x1+x2=-(b+1)，x1x2=(b²+4b-4)/2
y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+(x1+x2)+b²
x1x2+y1y2=0
x1x2+x1x2+(x1+x2)+b²=0
b²+4b-4-(b+1)+b²=0
2b²+3b-5=0
(2b+5)(b-1)=0
b=1或b=-5/2
所以存在斜率为1的直线，此时方程为y=x+1或y=x-5/2

追问

谢谢！
可是标准答案是y=x+1或者y=x-4。
您是不是哪里算错了

追答

你的题目数据没错吧？
我再算算看
y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+(x1+x2)b+b²
x1x2+y1y2=0
x1x2+x1x2+(x1+x2)+b²=0
b²+4b-4-b(b+1)+b²=0
b²+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
b=1或b=-4
这就对了
不好意思
所以答案就是y=x+1或y=x-4