Question

已知圆C2；x^2+y^2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求

直线l的方程，若不在说明理由

Answer 1

设斜率为1直线L的方程为
y=x+b
代入圆方程得
x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
x^2+x^2+2bx+b^2-2x+4x+4b-4=0
2x^2+2(b-1)x+b^2+4b-4=0
x1+x2=-2(b-1)/2=1-b
x1x2=(b^2+4b-4)/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=(1-b)^2-4*(b^2+4b-4)/2
=1-2b+b^2-2b^2-8b+8
=-b^2-10b+9
(y1-y2)^2=(x1+b-x2-b)^2=(x1-x2)^2=-b^2-10b+9
所以|AB|=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=√(-b^2-10b+9+-b^2-10b+9)
=√-2b^2-20b+18=2R
R=√(-2b^2-20b+18)/2
R^2=(-2b^2-20b+18)/4
=(-b^2-10b+9)/2
圆心(x1+x2)/2=(1-b)/2 (y1+y2)/2=(x1+b+x2+b)/2=(1-b+2b)/2=(1+b)/2
所以圆方程是：
(x-(1-b)/2)^2+(y-(1+b)/2)^2=(-b^2-10b+9)/2
因为它经过原点，则当x=0时y=0
则
(0-(1-b)/2)^2+(0-(1+b)/2)^2=(-b^2-10b+9)/2 两边乘4
(1-b)^2+(1+b)^2=2(-b^2-10b+9)
1-2b+b^2+1+2b+b^2=-2b^2-20b+18
2+2b^2=-2b^2-20b+18
4b^2+20b-16=0
b^2+5b-4=0
b=(-5±√41)/2
所以存在这样的直线，方程为
y=x+(√41-5)/2或 y=x-(√41+5)/2