Question

高二直线方程问题

过P(1,2)的直线l与像x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，若|PA|·|PB|=4，求直线l方程

【我的方法】
PA²=(x-1)²+4
PB²=(y-2)²+1
2|PA|·|PB|=8

故(PA+PB)²=AB²=x²+y²
=(x-1)²+4+(y-2)²+1+8

整理得到x+2y-9=0

【但是为什么带入P(1，2)结果不成立？是哪里错了？求教】

Answer 1

1。求过点A（-1，1），且与点B（2，5）的距离最大的直线l的点法向式方程
解答如下：
假设直线的方程为：kx-y+k+1=0
点（2，5）到支线的距离为：
d^2=|2k-5+k+1|^2/(1+k^2)
=(9k^2-24k+16)/(k^2+1)
=9+(7-24k)/(k^2+1)

u=(7-24k)/(k^2+1)
两边同时求导，并令u'=0,
可以得到：
k=4/3,or,k=3/4
所以，直线方程为：
4x-3y+7=0,or 3x-4y+7=0.

2.已知直线l过点（1，2），且M（2，3），N（4，-5）两点到直线l的距离相等，求直线l的点方程式方程

有两种情况：
（1），当所求直线与MN没有交点时。
所求直线‖MN.
MN斜率＝8/（-2）＝-4
所求直线方程：y-2＝-4（x-1）.

（2），当所求直线与MN有交点时。
所求直线是MN的垂直平分线。
所以斜率之乘积=-1，求得
直线方程为：y-2＝1/4（x-1）,但是此时MN的中点（3，-1）不在此直线上，
所以这种情况舍去。
故直线l的点方程式方程为：y-2＝-4（x-1）.

3。已知道直线l1与直线l2：2x+3y-6=0关于点A（1,-1)对称，求直线l1的方程.

解答如下：
假设直线l1的任意一点为（a,b）,
则关于A（1,-1)对称的点为：（2-a,-2-b）,次点必在
直线l2：2x+3y-6=0，代入可得到：
2(2-a)+3(-2-b)-6=0
所以：2a+3b+8=0
所以直线l1的方程为：2x+3y+8=0

Answer 2

左边与右边的x,y不保证在同一直线上，只保证2PA*PB=8
k1=-0.5,k2=-2
L1:x+2y-5=0
L2:2x+y-4=0

追问

我觉得因为直线交xy都在正半轴，所以直线是唯一的，xy就肯定是在一条直线上的呀，否则不符合题意了不是吗？我不明白。

追答

y-2=k*(x-1)
y=0,x=(k-2)/k
x=0,y=2-k
PA^2=[1-(k-2)/k]^2+4
PB^2=1+(2-2+k)^2=1+k^2
(PA+PB)^2=AB^2
[1-(k-2)/k]^2+4+1+k^2+8=[(k-2)/k]^2+(2-k)^2
k=-0.5,-2
这样解就保证A、P、B三点在同一直线上。你的解法x、y在两坐标轴上，不是同一点的坐标。所以只能满足等式的值，不满足三点在同在一直线上。

追问

也就是说我的解法可能让ABP三点形成一个三角形了？所以只有设点斜式方程才能保证k相同，三点共线对吧。 还有答案好像和我按照你说的做出来的不一样，把k值带回去好像也不成立？？

追答

就这方法做即可呀，计算结果，请检验一下，就可以了。